에르고딕 이론이란 무엇인가

에르고딕 이론이란 무엇인가

 

(한국과학기술원 수학과 최건호 교수, 최종 수정일 2006년 4월 17일)

 

먼저‘에르고딕(ergodic)’이라는 단어의 어원을 살펴보면 오스트리아의 통계물리학자인 볼츠만(Ludwig Boltzmann)이 그리스어의 어근인‘ergon’(일, 작용)과‘hodos’(길, 경로)를 붙여서 만들었습니다. (참고문헌: ‘The Words of Mathematics’, S. Schwartzman, Mathematical Association of America, 1994) 볼츠만은 에르고딕 가설을 내세웠는데, “주어진 하나의 입자는 상태 공간에서 같은 에너지를 갖는 곡면의 모든 부분을 골고루 돌아다닌다”라는 것입니다. 참고로 일러두자면 자신의 원자 이론이 학계에서 받아들여지지 않아 우울하게 지냈던 볼츠만의 전기는 ‘볼츠만의 원자’라는 제목으로 이미 우리말로 번역되어 나와 있습니다. (생각해 보면 큰 길에서 슈뢰딩어 연구소와 Wien 대학 쪽으로 접어드는 길의 이름이 Boltzmanngasse이었습니다. Wien 에서는 역사적인 업적을 남긴 위인들의 이름을 길에 붙였습니다.)

 

동역학계(dynamical system)란 간단히 말하자면 사상 f : X --> X 가 주어져 있을 때 f를 반복하여 적용하여 생길 수 있는 현상을 연구하는 분야입니다. 비유를 하자면 컴퓨터 프로그래밍에서 DO loop 를 연상하면 되겠습니다. 물리적인 의미로는 f가 시간이 1초 지날 때 마다 주어진 점의 위치를 주는 사상이라고 하면 f를 n번 적용한다는 것은 n 초 후에 점이 어디에 놓이게 될 것인가 하는 것입니다. 가장 흔한 예는 X 가 미분다양체이고, f는 상미분 방정식을 풀었을 때 나타나는 유선 (flow)으로 정의될 때 f의 점근적(asymptotic) 행동을 연구하는 것입니다. 이 분야를 미분동역학계라고 하며, 한편 집합 X가 위상공간이고 f가 연속일 때를 위상적 동역학계이론이라고 합니다. 마지막으로 X가 가측(measurable) 구조를 갖고, 사상f가 가측적인(measurable) 경우를 연구하는 분야를 에르고딕 이론이라고 합니다. 이러한 동역학계들을 물리적 현상의 무질서의 관점에서 연구하는 것을 카오스 이론이라고 합니다. 참고로 말하자면 이상의 구조에 덧붙여 환(ring)이니 체(field) 등의 대수적 구조도 동시에 갖는 역학계를 연구하는 경우도 있습니다. 예를 들면 G.A. Margulis 가 필즈 상을 받은 업적도 이런 분야에 속합니다.

 

확률측도 공간에서 정의된 에르고딕 변환의 의미는 ‘불변인 부분집합은 그 측도값이 0 이거나 1 이다’라는 것입니다. 이것은 주어진 불변집합이 더 분해될 수 없다는 (indecomposable) 뜻입니다. 동치인 조건은 ‘불변함수는 상수 밖에 없다’라는 것인데, 주어진 변환이 에르고딕하지 않다면 정의역을 분해하여 각각의 성분이 에르고딕이 되도록 할 수 있습니다. 주어진 변환이 에르고딕이면 Birkhoff 의 에르고딕 정리가 성립하는데 이것은 변환의 궤도에 따라 구한 시간 평균이 불변측도에 대한 공간 평균과 같다는 것이며 에르고딕 이론에서 가장 기본이 되는 사실입니다.

from : http://shannon.kaist.ac.kr/choe/Articles/Ergodic.htm