[Q]
Vector Space는 꼭 Field위에만 만들어져야 하나요? 아니면 Ring이나 Group위에도 만들어질 수 있는 건가요?

======================================================================================
[A]

벡터공간은 체(field)상에서 정의된 것입니다.

환(ring)이나 군(groul) 위에서 벡터공간처럼 무언가를 정의하면

다른 대상으로 이름을 붙여야 하겠지요.

만드는 것 자체는 문제가 없겠지만

그 구조를 연구하는 것이 학문적으로는 가치가

어느정도 있겠지만

실용적인 측면에서

벡터공간만한 의미를 갖기는 어려울 것입니다.

벡터공간이 완비성을 만족하면 힐버트 공간이 되고요.

실질적으로 현실에서 나타나는 공간들은

대부분 힐버트 공간입니다.

따라서 벡터공간 정도는 되어야

실용적인 공간에 가까와 진다고 볼 수 있습니다.

The weighted mean of a discrete set of numbers with weights is given by

where each weight is a nonnegative real number and

For a continuous set of numbers parameterized by the variable defined over the set and a

weight distribution also defined over with nonnegative for all and

the weighted mean of is given by

Weighted means have many applications in physics, including finding the center of mass and moments of inertia of an object with a known density distribution and computing and electric and magnetic multipole moments of charge and current distributions, respectively.

Weighted means are also commonly used in statistics, for instance, in population studies.

from : http://mathworld.wolfram.com/WeightedMean.html

====================================================================

가중평균 [加重平均, weighted average]

N개의 수치의 평균값을 구할 때 중요도나 영향도에 해당하는 각각의 가중치를 곱하여 구한 평균값이다.

이를테면, N개의 수치 x₁,x₂,…,x_n의 산술평균 M은,

M=(x₁+x₂+…+x_n)/N

으로 구할 수 있다. 그런데 이 N개 중에 x₁이 f₁개, x₂가 f₂개, …, x_n이 f_n개 있다고 하면,

f₁+f₂+…+f_n=N

이 되고, 이 N개의 수치의 합계는,

f₁x₁+f₂x₂+…+f_nx_n

이 되므로 M의 식은

M=(f₁x₁ + f₂x₂+…+f_nx_n)/N

이 된다. 이것을 서로 다른 n개의 수치 x₁,x₂…,x_n에 각각 f₁f₂…,f_n이라는 가중치가 붙었다고 생각하여, M의 식을 가중평균이라 한다. 이것은 수치 x₁,x₂,…,x_n의 중요도나 영향도가 각각 f₁f₂…,f_n만큼있다고 생각해도 좋다. 이를테면, 발표에 나타낸 A, B, C 3지역의 평균 사망률을 산출하면,

(2.5×400 ＋ 1.8×1000 ＋ 2.0×600)/(400＋1000＋600) ＝ 2.0

으로 계산할 수 있다. 이것은 인구를 웨이트로 하여 가중평균한 것이다.

from : http://100.naver.com/100.nhn?docid=2213

In mathematics, the unit interval is the closed interval [0,1], that is, the set of all real numbers that are greater than or equal to 0 and less than or equal to 1. It is often denoted I. In addition to its role in real analysis, the unit interval is used to study homotopy theory in the field of topology.

In the literature, the term "unit interval" is sometimes applied to the other shapes that an interval from 0 to 1 could take: (0,1], [0,1), and (0,1). However, the notation I is most commonly reserved for the closed interval [0,1].

....

From Wikipedia, the free encyclopedia

자세한 내용 : http://en.wikipedia.org/wiki/Unit_interval